说实话，刚学函数那会儿，我也觉得这词儿挺唬人的。什么自变量、因变量、定义域、值域……光听名字就头大。后来慢慢琢磨明白了，函数这东西，本质上特别简单——给它一个东西，它还你一个东西，而且每次给同样的，还回来的都一样。
打个最接地气的比方：自动售货机。你投5块钱，按对应按钮，掉出来一瓶可乐。你下次再投5块按同一个按钮，还是那瓶可乐。这个“投钱→出货”的规则，就是函数。
初中怎么说的？
初中课本里，函数的定义大概是这样的：
在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，就有唯一确定的y值与之对应，那么就说y是x的函数。
听着还行对吧？初中阶段的理解很直观：一个输入，对应一个输出。 就像你往机器里塞一个数，它吐出另一个数。这时候我们画的是图像，看的是趋势，关心的是“x变大时y怎么变”。
这个阶段的函数，更像是一个“计算过程”——你给我原料，我给你成品。
高中为什么又重新定义了一遍？
到了高一翻开课本，你会发现函数又被定义了一次，而且措辞完全变了：
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
是不是感觉一下子严肃了很多？其实高中并不是推翻了初中的说法，而是把视角拔高了一层。
初中看的是“过程”，高中看的是“关系本身”。高中的定义做了三件重要的事：
第一，明确了“范围”。 不再是笼统地说“一个变化过程”，而是明确说了——输入来自集合A，输出落在集合B。这就引出了“定义域”和“值域”的概念。不是所有数都能往里扔的，比如√x，负数就不行。
第二，把对应关系独立出来了。 f不再只是y=x+1里的那个等号，而是一个独立的“规则”。同一个f，可以作用在不同的集合上，产生不同的函数。这让函数的概念变得非常灵活。
第三，从具体走向了抽象。 初中的函数几乎都长着公式的样子，高中的函数可以是任何规则——一段程序、一张表格、甚至一句话描述的规律。只要满足“一对一”的对应，它就是函数。
一句话总结
初中说函数是“一个算式”，你算我就行；高中说函数是“一种对应关系”，不管你怎么对应，规矩立好了就行。
这么一想，函数也没那么可怕对吧？它就是一个守规矩的“转换器”——你永远知道喂进去什么会出来什么。搞清楚这一点，后面学指数函数、对数函数、三角函数，心里就有底了。